Funktion $$$e^{\frac{x}{4}}$$$ integraali

Määritä $$$\int e^{\frac{x}{4}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{x}{4}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{4}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = 4 du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=4$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(4 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 4 {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=\frac{x}{4}$$$:

$$4 e^{{\color{red}{u}}} = 4 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{4}\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{\frac{x}{4}} d x} = 4 e^{\frac{x}{4}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{\frac{x}{4}} d x} = 4 e^{\frac{x}{4}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{4}}\, dx = 4 e^{\frac{x}{4}} + C$$$A