Integraali $$$e^{\frac{u}{v}}$$$:stä muuttujan $$$u$$$ suhteen

Määritä $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Olkoon $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Tällöin $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$du = v dw$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ käyttäen $$$c=v$$$ ja $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Muista, että $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A