Integraali $$$e^{i a x^{2}}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int e^{i a x^{2}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=x \sqrt{i a}$$$.

Tällöin $$$du=\left(x \sqrt{i a}\right)^{\prime }dx = \sqrt{i a} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{\sqrt{i a}}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{e^{i a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{\sqrt{i a}}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{\sqrt{i a}}}}$$

Tällä integraalilla (Imaginäärinen virhefunktio) ei ole suljettua muotoa:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{\sqrt{i a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{i a}}$$

Muista, että $$$u=x \sqrt{i a}$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{i a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{x \sqrt{i a}}} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}+C$$

$$$\int e^{i a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}} + C$$$A