Integraali $$$a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen
Aiheeseen liittyvä laskin: Määrättyjen ja epäoleellisten integraalien laskin
Syötteesi
Määritä $$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx$$$.
Ratkaisu
Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=a d$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$:
$${\color{red}{\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = {\color{red}{a d \int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}}$$
Olkoon $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$.
Tällöin $$$du=\left(\frac{x}{\left|{a}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\left|{a}\right|}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \left|{a}\right| du$$$.
Näin ollen,
$$a d {\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}}$$
Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\left|{a}\right|$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$:
$$a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}} = a d {\color{red}{\left|{a}\right| \int{e^{u^{2}} d u}}}$$
Tällä integraalilla (Imaginäärinen virhefunktio) ei ole suljettua muotoa:
$$a d \left|{a}\right| {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = a d \left|{a}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$
Muista, että $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$:
$$\frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\frac{x}{\left|{a}\right|}}} \right)}}{2}$$
Näin ollen,
$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}$$
Lisää integrointivakio:
$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}+C$$
Vastaus
$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2} + C$$$A