Funktion $$$\frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=2 x + 3$$$.

Tällöin $$$du=\left(2 x + 3\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{2 x + 3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{u}} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{u}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{2}\right)}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=- \frac{1}{2}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{2}$$

Muista, että $$$u=2 x + 3$$$:

$$\sqrt{{\color{red}{u}}} = \sqrt{{\color{red}{\left(2 x + 3\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{2 x + 3}} d x} = \sqrt{2 x + 3}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{2 x + 3}} d x} = \sqrt{2 x + 3}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}\, dx = \sqrt{2 x + 3} + C$$$A