Funktion $$$\cos^{3}{\left(t \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt$$$.

Irrota yksi kosini ja kirjoita kaikki muu sinin termeinä, käyttäen kaavaa $$$\cos^2\left(\alpha \right)=-\sin^2\left(\alpha \right)+1$$$ siten, että $$$\alpha=t$$$:

$${\color{red}{\int{\cos^{3}{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} d t}}}$$

Olkoon $$$u=\sin{\left(t \right)}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\sin{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt = \cos{\left(t \right)} dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\cos{\left(t \right)} dt = du$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$${\color{red}{\int{\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}}$$

Integroi termi kerrallaan:

$${\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{u^{2} d u}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, du = c u$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=2$$$:

$$u - {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u - {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u - {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Muista, että $$$u=\sin{\left(t \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} - \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = {\color{red}{\sin{\left(t \right)}}} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(t \right)}}}^{3}}{3}$$

Näin ollen,

$$\int{\cos^{3}{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\cos^{3}{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}+C$$

$$$\int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = \left(- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}\right) + C$$$A