Funktion $$$\cos{\left(\pi t \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \cos{\left(\pi t \right)}\, dt$$$.

Olkoon $$$u=\pi t$$$.

Tällöin $$$du=\left(\pi t\right)^{\prime }dt = \pi dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dt = \frac{du}{\pi}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\pi t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{\pi}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{\pi}}}$$

Kosinin integraali on $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{\pi}$$

Muista, että $$$u=\pi t$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\pi t}} \right)}}{\pi}$$

Näin ollen,

$$\int{\cos{\left(\pi t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(\pi t \right)}}{\pi}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\cos{\left(\pi t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(\pi t \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \cos{\left(\pi t \right)}\, dt = \frac{\sin{\left(\pi t \right)}}{\pi} + C$$$A