Funktion $$$4 y e^{- y^{2}}$$$ integraali

Määritä $$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$.

Olkoon $$$u=- y^{2}$$$.

Tällöin $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$y dy = - \frac{du}{2}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-2$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A