Funktion $$$4 t e^{t}$$$ integraali

Määritä $$$\int 4 t e^{t}\, dt$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ käyttäen $$$c=4$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = t e^{t}$$$:

$${\color{red}{\int{4 t e^{t} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{t e^{t} d t}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{t e^{t} d t}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=t$$$ ja $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$$4 {\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}=4 {\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}=4 {\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$:

$$4 t e^{t} - 4 {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = 4 t e^{t} - 4 {\color{red}{e^{t}}}$$

Näin ollen,

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 t e^{t} - 4 e^{t}$$

Sievennä:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int 4 t e^{t}\, dt = 4 \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A