Funktion $$$\frac{3}{x - 4}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{3}{x - 4}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=3$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{x - 4} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x - 4} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=x - 4$$$.

Tällöin $$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Näin ollen,

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 4} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$u=x - 4$$$:

$$3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{3}{x - 4} d x} = 3 \ln{\left(\left|{x - 4}\right| \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{3}{x - 4} d x} = 3 \ln{\left(\left|{x - 4}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{3}{x - 4}\, dx = 3 \ln\left(\left|{x - 4}\right|\right) + C$$$A