Funktion $$$\frac{11 x}{x - 4}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{11 x}{x - 4}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=11$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{x - 4}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{11 x}{x - 4} d x}}} = {\color{red}{\left(11 \int{\frac{x}{x - 4} d x}\right)}}$$

Kirjoita murtolauseke uudelleen ja jaa se osamurtoihin:

$$11 {\color{red}{\int{\frac{x}{x - 4} d x}}} = 11 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{4}{x - 4}\right)d x}}}$$

Integroi termi kerrallaan:

$$11 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{4}{x - 4}\right)d x}}} = 11 {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{4}{x - 4} d x}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dx = c x$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$11 \int{\frac{4}{x - 4} d x} + 11 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 11 \int{\frac{4}{x - 4} d x} + 11 {\color{red}{x}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=4$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$$$:

$$11 x + 11 {\color{red}{\int{\frac{4}{x - 4} d x}}} = 11 x + 11 {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{x - 4} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=x - 4$$$.

Tällöin $$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Siis,

$$11 x + 44 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 4} d x}}} = 11 x + 44 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$11 x + 44 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 11 x + 44 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$u=x - 4$$$:

$$11 x + 44 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 11 x + 44 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{11 x}{x - 4} d x} = 11 x + 44 \ln{\left(\left|{x - 4}\right| \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{11 x}{x - 4} d x} = 11 x + 44 \ln{\left(\left|{x - 4}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{11 x}{x - 4}\, dx = \left(11 x + 44 \ln\left(\left|{x - 4}\right|\right)\right) + C$$$A