Integraali $$$x^{2} + \frac{1}{a^{2}}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int \left(x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)\, dx$$$.

Integroi termi kerrallaan:

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{a^{2}} d x} + \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dx = c x$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{a^{2}}$$$:

$$\int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2}} d x}}} = \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x}{a^{2}}}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=2$$$:

$${\color{red}{\int{x^{2} d x}}} + \frac{x}{a^{2}}={\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}} + \frac{x}{a^{2}}={\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}} + \frac{x}{a^{2}}$$

Näin ollen,

$$\int{\left(x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)d x} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{a^{2}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\left(x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)d x} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{a^{2}}+C$$

$$$\int \left(x^{2} + \frac{1}{a^{2}}\right)\, dx = \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{a^{2}}\right) + C$$$A