Funktion $$$\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=11 x$$$.

Tällöin $$$du=\left(11 x\right)^{\prime }dx = 11 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{11}$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{11 \cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{11}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{11 \cos{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}{11}\right)}}$$

Kirjoita kosini sinin avulla kaavaa $$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ käyttäen ja kirjoita sitten sini uudelleen kaksinkertaisen kulman kaavaa $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ käyttäen:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11}$$

Kerro osoittaja ja nimittäjä luvulla $$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11}$$

Olkoon $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$.

Tällöin $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$.

Näin ollen,

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{11}$$

Funktion $$$\frac{1}{v}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{11}$$

Muista, että $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{11} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{11}$$

Muista, että $$$u=11 x$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{11} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\left(11 x\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{11}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{11 x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{11}$$

Sievennä:

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{22 x + \pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{11}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{22 x + \pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{11}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{22 x + \pi}{4} \right)}}\right|\right)}{11} + C$$$A