Integraali $$$\frac{1}{a - p}$$$:stä muuttujan $$$a$$$ suhteen

Määritä $$$\int \frac{1}{a - p}\, da$$$.

Olkoon $$$u=a - p$$$.

Tällöin $$$du=\left(a - p\right)^{\prime }da = 1 da$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$da = du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a - p} d a}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$u=a - p$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(a - p\right)}}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{a - p} d a} = \ln{\left(\left|{a - p}\right| \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{a - p} d a} = \ln{\left(\left|{a - p}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{a - p}\, da = \ln\left(\left|{a - p}\right|\right) + C$$$A