Funktion $$$\frac{1}{4 x - 3}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{4 x - 3}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=4 x - 3$$$.

Tällöin $$$du=\left(4 x - 3\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{4}$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 x - 3} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{4}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{4}\right)}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Muista, että $$$u=4 x - 3$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(4 x - 3\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{4 x - 3} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{4 x - 3}\right| \right)}}{4}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{4 x - 3} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{4 x - 3}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{1}{4 x - 3}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{4 x - 3}\right|\right)}{4} + C$$$A