Integraali $$$e^{\frac{x}{c}}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{x}{c}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = c du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=c$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A