Funktion $$$e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int e^{- t} \cos{\left(t \right)}\, dt$$$.

Integraalin $$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=\cos{\left(t \right)}$$$ ja $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=- \sin{\left(t \right)} dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(t \right)} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot \left(- \sin{\left(t \right)}\right) d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=\sin{\left(t \right)}$$$ ja $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\cos{\left(t \right)} dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t}}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}=- {\color{red}{\left(\sin{\left(t \right)} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot \cos{\left(t \right)} d t}\right)}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}=- {\color{red}{\left(- \int{\left(- e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)d t} - e^{- t} \sin{\left(t \right)}\right)}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)d t}}} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}\right)}} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

Olemme päätyneet integraaliin, jonka olemme jo aiemmin nähneet.

Näin ollen olemme saaneet seuraavan yksinkertaisen integraalia koskevan yhtälön:

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

Ratkaisemalla sen saamme, että

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{2}$$

Sievennä:

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- t} \cos{\left(t \right)}\, dt = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A