Integraali $$$2 x^{2} - y^{2}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int \left(2 x^{2} - y^{2}\right)\, dx$$$.

Integroi termi kerrallaan:

$${\color{red}{\int{\left(2 x^{2} - y^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2 x^{2} d x} - \int{y^{2} d x}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dx = c x$$$ käyttäen $$$c=y^{2}$$$:

$$\int{2 x^{2} d x} - {\color{red}{\int{y^{2} d x}}} = \int{2 x^{2} d x} - {\color{red}{x y^{2}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$:

$$- x y^{2} + {\color{red}{\int{2 x^{2} d x}}} = - x y^{2} + {\color{red}{\left(2 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=2$$$:

$$- x y^{2} + 2 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- x y^{2} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- x y^{2} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{\left(2 x^{2} - y^{2}\right)d x} = \frac{2 x^{3}}{3} - x y^{2}$$

Sievennä:

$$\int{\left(2 x^{2} - y^{2}\right)d x} = x \left(\frac{2 x^{2}}{3} - y^{2}\right)$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\left(2 x^{2} - y^{2}\right)d x} = x \left(\frac{2 x^{2}}{3} - y^{2}\right)+C$$

$$$\int \left(2 x^{2} - y^{2}\right)\, dx = x \left(\frac{2 x^{2}}{3} - y^{2}\right) + C$$$A