Funktion $$$\frac{2 v}{v - 1}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{2 v}{v - 1}\, dv$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(v \right)} = \frac{v}{v - 1}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2 v}{v - 1} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{v}{v - 1} d v}\right)}}$$

Kirjoita murtolauseke uudelleen ja jaa se osamurtoihin:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{v}{v - 1} d v}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{v - 1}\right)d v}}}$$

Integroi termi kerrallaan:

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{v - 1}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{\frac{1}{v - 1} d v}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dv = c v$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$2 \int{\frac{1}{v - 1} d v} + 2 {\color{red}{\int{1 d v}}} = 2 \int{\frac{1}{v - 1} d v} + 2 {\color{red}{v}}$$

Olkoon $$$u=v - 1$$$.

Tällöin $$$du=\left(v - 1\right)^{\prime }dv = 1 dv$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dv = du$$$.

Siis,

$$2 v + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v - 1} d v}}} = 2 v + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$2 v + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 v + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$u=v - 1$$$:

$$2 v + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 v + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(v - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{2 v}{v - 1} d v} = 2 v + 2 \ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}$$

Sievennä:

$$\int{\frac{2 v}{v - 1} d v} = 2 \left(v + \ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}\right)$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{2 v}{v - 1} d v} = 2 \left(v + \ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}\right)+C$$

$$$\int \frac{2 v}{v - 1}\, dv = 2 \left(v + \ln\left(\left|{v - 1}\right|\right)\right) + C$$$A