Funktion $$$2 e^{3 x}$$$ integraali

Määritä $$$\int 2 e^{3 x}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{3 x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{3 x} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=3 x$$$.

Tällöin $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{3}$$$.

Näin ollen,

$$2 {\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{3}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Muista, että $$$u=3 x$$$:

$$\frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{2 e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{3}$$

Näin ollen,

$$\int{2 e^{3 x} d x} = \frac{2 e^{3 x}}{3}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{2 e^{3 x} d x} = \frac{2 e^{3 x}}{3}+C$$

$$$\int 2 e^{3 x}\, dx = \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$$$A