Funktion $$$\frac{x}{\sec{\left(x \right)}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{x}{\sec{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Yksinkertaista integroitavaa:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\sec{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}$$

Integraalin $$$\int{x \cos{\left(x \right)} d x}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=x$$$ ja $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Sinifunktion integraali on $$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$:

$$x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}} = x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{x}{\sec{\left(x \right)}} d x} = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{x}{\sec{\left(x \right)}} d x} = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sec{\left(x \right)}}\, dx = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A