|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$5^{x}$$$ toinen derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Derivointilaskin, Logaritmisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(5^{x}\right)$$$.
Ratkaisu
Laske ensimmäinen derivaatta $$$\frac{d}{dx} \left(5^{x}\right)$$$
Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$, kun $$$n = 5$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5^{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(5^{x} \ln\left(5\right)\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(5^{x}\right) = 5^{x} \ln\left(5\right)$$$.
Seuraavaksi $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(5^{x}\right) = \frac{d}{dx} \left(5^{x} \ln\left(5\right)\right)$$$
Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = \ln\left(5\right)$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = 5^{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5^{x} \ln\left(5\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(5\right) \frac{d}{dx} \left(5^{x}\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$, kun $$$n = 5$$$:
$$\ln\left(5\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5^{x}\right)\right)} = \ln\left(5\right) {\color{red}\left(5^{x} \ln\left(5\right)\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(5^{x} \ln\left(5\right)\right) = 5^{x} \ln^{2}\left(5\right)$$$.
Siispä $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(5^{x}\right) = 5^{x} \ln^{2}\left(5\right)$$$.
Vastaus
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(5^{x}\right) = 5^{x} \ln^{2}\left(5\right)$$$A