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Valores propios y vectores propios de $$$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 16\\4 & 1 & 8\\-4 & -4 & -11\end{array}\right]$$$

La calculadora encontrará los valores propios y los vectores propios de la matriz cuadrada $$$3$$$ x $$$3$$$ $$$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 16\\4 & 1 & 8\\-4 & -4 & -11\end{array}\right]$$$, y se muestran los pasos.

Calculadora relacionada: Calculadora de polinomios característicos

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Tu aportación

Encuentre los valores propios y los vectores propios de $$$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 16\\4 & 1 & 8\\-4 & -4 & -11\end{array}\right]$$$.

Solución

Comienza formando una nueva matriz restando $$$\lambda$$$ de las entradas diagonales de la matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}5 - \lambda & 8 & 16\\4 & 1 - \lambda & 8\\-4 & -4 & - \lambda - 11\end{array}\right]$$$.

El determinante de la matriz obtenida es $$$- \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 3\right)^{2}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de determinantes).

Resuelve la ecuación $$$- \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 3\right)^{2} = 0$$$.

Las raíces son $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = -3$$$, $$$\lambda_{3} = -3$$$ (para conocer los pasos, consulte solucionador de ecuaciones).

Estos son los valores propios.

A continuación, encuentre los vectores propios.

  • $$$\lambda = 1$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}5 - \lambda & 8 & 16\\4 & 1 - \lambda & 8\\-4 & -4 & - \lambda - 11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4 & 8 & 16\\4 & 0 & 8\\-4 & -4 & -12\end{array}\right]$$$

    El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).

    Este es el vector propio.

  • $$$\lambda = -3$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}5 - \lambda & 8 & 16\\4 & 1 - \lambda & 8\\-4 & -4 & - \lambda - 11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}8 & 8 & 16\\4 & 4 & 8\\-4 & -4 & -8\end{array}\right]$$$

    El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).

    Estos son los vectores propios.

Respuesta

Valor propio: $$$1$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}-2\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Valor propio: $$$-3$$$A, multiplicidad: $$$2$$$A, vectores propios: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right]$$$, $$$\left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]$$$A.