Calculadora de la suma de Riemann para una función

Aproximar una integral (dada por una función) usando la suma de Riemann paso a paso

La calculadora aproximará la integral definida utilizando la suma de Riemann y los puntos de muestra de su elección: extremos izquierdos, extremos derechos, puntos medios o trapezoides.

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Tu aportación

Aproxime la integral $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$ con $$$n = 4$$$ usando la suma de Riemann por la izquierda.

Solución

La suma de Riemann izquierda (también conocida como la aproximación del punto final izquierdo) utiliza el punto final izquierdo de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo de aproximación:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 2$$$ y $$$n = 4$$$.

Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$.

Divida el intervalo $$$\left[0, 2\right]$$$ en $$$n = 4$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ con los siguientes puntos finales: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$.

Ahora, simplemente evalúe la función en los extremos izquierdos de los subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$

Finalmente, simplemente sume los valores anteriores y multiplíquelos por $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$$$

Respuesta

$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A