Integral de $$$x e^{2} e^{- x}$$$

Halla $$$\int x e^{2} e^{- x}\, dx$$$.

La entrada se reescribe: $$$\int{x e^{2} e^{- x} d x}=\int{x e^{2 - x} d x}$$$.

Para la integral $$$\int{x e^{2 - x} d x}$$$, utiliza la integración por partes $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Sean $$$\operatorname{u}=x$$$ y $$$\operatorname{dv}=e^{2 - x} dx$$$.

Entonces $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (los pasos pueden verse ») y $$$\operatorname{v}=\int{e^{2 - x} d x}=- e^{2 - x}$$$ (los pasos pueden verse »).

La integral puede reescribirse como

$${\color{red}{\int{x e^{2 - x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{2 - x}\right)-\int{\left(- e^{2 - x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- x e^{2 - x} - \int{\left(- e^{2 - x}\right)d x}\right)}}$$

Aplica la regla del factor constante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-1$$$ y $$$f{\left(x \right)} = e^{2 - x}$$$:

$$- x e^{2 - x} - {\color{red}{\int{\left(- e^{2 - x}\right)d x}}} = - x e^{2 - x} - {\color{red}{\left(- \int{e^{2 - x} d x}\right)}}$$

Sea $$$u=2 - x$$$.

Entonces $$$du=\left(2 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (los pasos pueden verse »), y obtenemos que $$$dx = - du$$$.

Por lo tanto,

$$- x e^{2 - x} + {\color{red}{\int{e^{2 - x} d x}}} = - x e^{2 - x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Aplica la regla del factor constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ y $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- x e^{2 - x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x e^{2 - x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

La integral de la función exponencial es $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- x e^{2 - x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x e^{2 - x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Recordemos que $$$u=2 - x$$$:

$$- x e^{2 - x} - e^{{\color{red}{u}}} = - x e^{2 - x} - e^{{\color{red}{\left(2 - x\right)}}}$$

Por lo tanto,

$$\int{x e^{2 - x} d x} = - x e^{2 - x} - e^{2 - x}$$

Simplificar:

$$\int{x e^{2 - x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{2 - x}$$

Añade la constante de integración:

$$\int{x e^{2 - x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{2 - x}+C$$

$$$\int x e^{2} e^{- x}\, dx = \left(- x - 1\right) e^{2 - x} + C$$$A