$$$x e^{2} e^{- x}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int x e^{2} e^{- x}\, dx$$$.

Girdi yeniden yazıldı: $$$\int{x e^{2} e^{- x} d x}=\int{x e^{2 - x} d x}$$$.

$$$\int{x e^{2 - x} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{2 - x} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{2 - x} d x}=- e^{2 - x}$$$ (adımlar için bkz. »).

O halde,

$${\color{red}{\int{x e^{2 - x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{2 - x}\right)-\int{\left(- e^{2 - x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- x e^{2 - x} - \int{\left(- e^{2 - x}\right)d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = e^{2 - x}$$$ ile uygula:

$$- x e^{2 - x} - {\color{red}{\int{\left(- e^{2 - x}\right)d x}}} = - x e^{2 - x} - {\color{red}{\left(- \int{e^{2 - x} d x}\right)}}$$

$$$u=2 - x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = - du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$- x e^{2 - x} + {\color{red}{\int{e^{2 - x} d x}}} = - x e^{2 - x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$$- x e^{2 - x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x e^{2 - x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- x e^{2 - x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x e^{2 - x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 - x$$$:

$$- x e^{2 - x} - e^{{\color{red}{u}}} = - x e^{2 - x} - e^{{\color{red}{\left(2 - x\right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{x e^{2 - x} d x} = - x e^{2 - x} - e^{2 - x}$$

Sadeleştirin:

$$\int{x e^{2 - x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{2 - x}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{x e^{2 - x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{2 - x}+C$$

$$$\int x e^{2} e^{- x}\, dx = \left(- x - 1\right) e^{2 - x} + C$$$A