$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Βρείτε $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Πρώτα, διαγωνιοποιήστε τη μήτρα (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής διαγωνιοποίησης μήτρας).

Εφόσον ο πίνακας δεν είναι διαγωνοποιήσιμος, γράψτε τον ως το άθροισμα του διαγώνιου πίνακα $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ και του μηδενιστικού πίνακα $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Παρατηρήστε ότι $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Αυτό σημαίνει ότι $$$e^{N} = I + N$$$, δηλαδή $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Η εκθετική ενός διαγώνιου πίνακα είναι ένας πίνακας όπου η εκθετική συνάρτηση εφαρμόζεται στα διαγώνια στοιχεία: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Τώρα, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Τέλος, πολλαπλασιάστε τους πίνακες:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε αριθμομηχανή πολλαπλασιασμού πινάκων).

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A