Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$.

Ξεκινήστε με τον σχηματισμό ενός νέου πίνακα αφαιρώντας $$$\lambda$$$ από τα διαγώνια στοιχεία του δοθέντος πίνακα: $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Η ορίζουσα της προκύπτουσας μήτρας είναι $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ (για τα βήματα, δείτε determinant calculator).

Λύστε την εξίσωση $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$.

Οι ρίζες είναι $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ (για τα βήματα, δείτε επίλυση εξισώσεων).

Αυτές είναι οι ιδιοτιμές.

Στη συνέχεια, βρείτε τα ιδιοδιανύσματα.

• $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

• $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

Ιδιοτιμή: $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A.

Ιδιοτιμή: $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A.