Μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sin^{3}{\left(t \right)}, \cos^{3}{\left(t \right)}, \sin^{2}{\left(t \right)}\right\rangle$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής μοναδιαίου κανονικού διανύσματος, Υπολογιστής Μοναδιαίου Δικανονικού Διανύσματος
Η είσοδός σας
Βρείτε το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sin^{3}{\left(t \right)}, \cos^{3}{\left(t \right)}, \sin^{2}{\left(t \right)}\right\rangle$$$.
Λύση
Για να βρούμε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, πρέπει να βρούμε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ (του εφαπτόμενου διανύσματος) και στη συνέχεια να το κανονικοποιήσουμε (να βρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 3 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}, - 3 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}, \sin{\left(2 t \right)}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγων).
Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{6 \sqrt{26} \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, - \frac{6 \sqrt{26} \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, \frac{2 \sqrt{26} \sin{\left(2 t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου διανύσματος).
Απάντηση
Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα είναι $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{6 \sqrt{26} \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, - \frac{6 \sqrt{26} \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}, \frac{2 \sqrt{26} \sin{\left(2 t \right)}}{13 \sqrt{1 - \cos{\left(4 t \right)}}}\right\rangle.$$$A