Υπολογιστής καμπυλότητας
Υπολογίστε την καμπυλότητα βήμα προς βήμα
Η αριθμομηχανή θα βρει την καμπυλότητα της δοσμένης ρητά, παραμετρικής ή διανυσματικής συνάρτησης στο δοθέν σημείο, με εμφάνιση των βημάτων.
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής Μοναδιαίου Δικανονικού Διανύσματος, Υπολογιστής στρέψης
Η είσοδός σας
Βρείτε την καμπυλότητα του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$.
Λύση
Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).
Βρείτε το μέτρο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μέτρου).
Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).
Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής διανυσματικού γινομένου).
Βρείτε το μέτρο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μέτρου).
Τέλος, η καμπυλότητα είναι $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$
Απάντηση
Η καμπυλότητα είναι $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.