No AI is used
  1. Αρχική
  2. Αριθμομηχανές
  3. Αριθμομηχανές: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ
  4. Αριθμομηχανή Μαθηματικού Λογισμού

Υπολογιστής στρέψης

Υπολογίστε τη συστροφή βήμα προς βήμα

Η αριθμομηχανή θα βρει τη στρέψη της δοθείσας διανυσματικής συνάρτησης στο δοθέν σημείο, με εμφάνιση των βημάτων.

Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής καμπυλότητας

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
Αφήστε κενό αν δεν χρειάζεστε τη στρέψη σε συγκεκριμένο σημείο.

Εάν η αριθμομηχανή δεν υπολόγισε κάτι ή έχετε εντοπίσει κάποιο σφάλμα, ή έχετε κάποια πρόταση/σχόλιο, παρακαλούμε επικοινωνήστε μαζί μας.

Η είσοδός σας

Βρείτε τη στρέψη του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle$$$.

Λύση

Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).

Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).

Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής διανυσματικού γινομένου).

Βρείτε το μέτρο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μέτρου).

Βρείτε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε τον υπολογιστή παραγώγων).

Βρείτε το εσωτερικό γινόμενο: $$$\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής εσωτερικού γινομένου).

Τέλος, η συστροφή είναι $$$\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.$$$

Απάντηση

Η στρέψη είναι $$$\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$A.