Υπολογιστής του κανόνα του τραπεζίου για μια συνάρτηση
Προσεγγίστε ένα ολοκλήρωμα (δοσμένο από μια συνάρτηση) χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τραπεζίου βήμα προς βήμα
Ο υπολογιστής θα προσεγγίσει το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τραπεζίου, με εμφάνιση των βημάτων.
Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής του κανόνα τραπεζοειδών για πίνακα
Η είσοδός σας
Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ με $$$n = 5$$$ χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή κανόνα.
Λύση
Ο trapezoidal rule χρησιμοποιεί τραπέζια για να προσεγγίσει το εμβαδόν:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
όπου $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Έχουμε ότι $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ και $$$n = 5$$$.
Επομένως, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$.
Διαιρέστε το διάστημα $$$\left[0, 1\right]$$$ σε $$$n = 5$$$ υποδιαστήματα μήκους $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$ με τα ακόλουθα άκρα: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$.
Τώρα, απλώς υπολογίστε τη συνάρτηση στα άκρα αυτά.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$
$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$
$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$
Τέλος, απλώς αθροίστε τις παραπάνω τιμές και πολλαπλασιάστε επί $$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$: $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$
Απάντηση
$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A