Υπολογιστής του κανόνα του Simpson για μια συνάρτηση
Προσεγγίστε ένα ολοκλήρωμα (δοσμένο από συνάρτηση) χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Σίμπσον βήμα προς βήμα
Μια διαδικτυακή αριθμομηχανή για την προσέγγιση ενός ορισμένου ολοκληρώματος με τον (παραβολικό) κανόνα 1/3 του Simpson, με αναλυτικά βήματα.
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής του κανόνα του Σίμπσον για πίνακα τιμών, Αριθμομηχανή του κανόνα 3/8 του Σίμπσον για συνάρτηση
Η είσοδός σας
Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα $$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$$$ με $$$n = 4$$$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Σίμπσον.
Λύση
Ο κανόνας 1/3 του Simpson (γνωστός και ως παραβολικός κανόνας) χρησιμοποιεί παραβολές για να προσεγγίσει το εμβαδόν:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
όπου $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Έχουμε ότι $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ και $$$n = 4$$$.
Επομένως, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$.
Διαιρέστε το διάστημα $$$\left[0, 1\right]$$$ σε $$$n = 4$$$ υποδιαστήματα μήκους $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$ με τα ακόλουθα άκρα: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$.
Τώρα, απλώς υπολογίστε τη συνάρτηση στα άκρα αυτά.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$$$
$$$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$$$
$$$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$$$
Τέλος, απλώς αθροίστε τις παραπάνω τιμές και πολλαπλασιάστε επί $$$\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$$$: $$$\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.$$$
Απάντηση
$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$$$A