Υπολογιστής προσέγγισης με δεξιό άκρο για συνάρτηση

Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα $$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ με $$$n = 4$$$ χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του δεξιού άκρου.

Το δεξιό άθροισμα Riemann (γνωστό και ως προσέγγιση με δεξιό άκρο) χρησιμοποιεί το δεξιό άκρο ενός υποδιαστήματος για τον υπολογισμό του ύψους του προσεγγιστικού ορθογωνίου:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

όπου $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Έχουμε ότι $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 5$$$ και $$$n = 4$$$.

Επομένως, $$$\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1$$$.

Διαιρέστε το διάστημα $$$\left[1, 5\right]$$$ σε $$$n = 4$$$ υποδιαστήματα μήκους $$$\Delta x = 1$$$ με τα ακόλουθα άκρα: $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4$$$, $$$5 = b$$$.

Τώρα, απλώς υπολογίστε τη συνάρτηση στα δεξιά άκρα των υποδιαστημάτων.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867$$$

Τέλος, απλώς αθροίστε τις παραπάνω τιμές και πολλαπλασιάστε επί $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726.$$$

$$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726$$$A