Υπολογιστής του Κανόνα του Μεσοσημείου για Συνάρτηση
Προσεγγίστε την τιμή ενός ολοκληρώματος (που δίνεται από συνάρτηση) χρησιμοποιώντας τον κανόνα του μέσου σημείου βήμα προς βήμα
Διαδικτυακός υπολογιστής για την προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος με τον κανόνα του μέσου σημείου (κανόνας μέσης τεταγμένης), με εμφάνιση των βημάτων.
Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής του κανόνα του μέσου σημείου για πίνακα
Η είσοδός σας
Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ με $$$n = 4$$$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα του μέσου σημείου.
Λύση
Ο κανόνας του μέσου σημείου (γνωστός επίσης ως προσέγγιση μέσου σημείου) χρησιμοποιεί το μέσο σημείο ενός υποδιαστήματος για τον υπολογισμό του ύψους του προσεγγιστικού ορθογωνίου:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
όπου $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Έχουμε ότι $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ και $$$n = 4$$$.
Επομένως, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Διαιρέστε το διάστημα $$$\left[1, 3\right]$$$ σε $$$n = 4$$$ υποδιαστήματα μήκους $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ με τα ακόλουθα άκρα: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Τώρα, απλώς υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα μεσαία σημεία των υποδιαστημάτων.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Τέλος, απλώς αθροίστε τις παραπάνω τιμές και πολλαπλασιάστε επί $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Απάντηση
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A