Υπολογιστής προσέγγισης με αριστερό άκρο για μια συνάρτηση
Προσεγγίστε ένα ολοκλήρωμα (που δίνεται από συνάρτηση) χρησιμοποιώντας τα αριστερά άκρα, βήμα προς βήμα
Διαδικτυακή αριθμομηχανή για την προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τα αριστερά άκρα (το αριστερό άθροισμα Riemann), με εμφάνιση των βημάτων.
Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής προσέγγισης με αριστερά άκρα για πίνακα τιμών
Η είσοδός σας
Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ με $$$n = 5$$$ χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του αριστερού άκρου.
Λύση
Το αριστερό άθροισμα Ρίμαν (επίσης γνωστό ως προσέγγιση με το αριστερό άκρο) χρησιμοποιεί το αριστερό άκρο ενός υποδιαστήματος για τον υπολογισμό του ύψους του προσεγγιστικού ορθογωνίου:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
όπου $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Έχουμε ότι $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ και $$$n = 5$$$.
Επομένως, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
Διαιρέστε το διάστημα $$$\left[0, 4\right]$$$ σε $$$n = 5$$$ υποδιαστήματα μήκους $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ με τα ακόλουθα άκρα: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
Τώρα, απλώς υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα αριστερά άκρα των υποδιαστημάτων.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
Τέλος, απλώς αθροίστε τις παραπάνω τιμές και πολλαπλασιάστε επί $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
Απάντηση
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A