Ολοκλήρωμα του $$$e^{- \frac{y}{2}}$$$

Βρείτε $$$\int e^{- \frac{y}{2}}\, dy$$$.

Έστω $$$u=- \frac{y}{2}$$$.

Τότε $$$du=\left(- \frac{y}{2}\right)^{\prime }dy = - \frac{dy}{2}$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dy = - 2 du$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{y}{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=-2$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- \frac{y}{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- \frac{y}{2}\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{- \frac{y}{2}} d y} = - 2 e^{- \frac{y}{2}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{- \frac{y}{2}} d y} = - 2 e^{- \frac{y}{2}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{y}{2}}\, dy = - 2 e^{- \frac{y}{2}} + C$$$A