Ολοκλήρωμα του $$$2 e^{2 x}$$$

Βρείτε $$$\int 2 e^{2 x}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 x} d x}\right)}}$$

Έστω $$$u=2 x$$$.

Τότε $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Το ολοκλήρωμα γίνεται

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=2 x$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{2 e^{2 x} d x} = e^{2 x}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{2 e^{2 x} d x} = e^{2 x}+C$$

$$$\int 2 e^{2 x}\, dx = e^{2 x} + C$$$A