Ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{x - 1}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{1}{x - 1}\, dx$$$.

Έστω $$$u=x - 1$$$.

Τότε $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{1}{x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{1}{x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x - 1}\, dx = \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) + C$$$A