Ολοκλήρωμα του $$$\sqrt{1 - x^{2}}$$$

Βρείτε $$$\int \sqrt{1 - x^{2}}\, dx$$$.

Έστω $$$x=\sin{\left(u \right)}$$$.

Τότε $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (τα βήματα μπορούν να προβληθούν »).

Επίσης, έπεται ότι $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$.

Ο ολοκληρωτέος γίνεται

$$$\sqrt{1 - x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$:

$$$\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}=\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}$$$

Υποθέτοντας ότι $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, προκύπτουν τα ακόλουθα:

$$$\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} = \cos{\left( u \right)}$$$

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\sqrt{1 - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον τύπο υποβιβασμού δυνάμεων $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ με $$$\alpha= u $$$:

$${\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, du = c u$$$ με $$$c=1$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}}{2}$$

Έστω $$$v=2 u$$$.

Τότε $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$du = \frac{dv}{2}$$$.

Επομένως,

$$\frac{u}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{2} = \frac{u}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{2} = \frac{u}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{2}$$

Το ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{4} = \frac{u}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{4}$$

Θυμηθείτε ότι $$$v=2 u$$$:

$$\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{4} = \frac{u}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{4}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}}}{2}$$

Επομένως,

$$\int{\sqrt{1 - x^{2}} d x} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{4} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}$$

Χρησιμοποιώντας τους τύπους $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, απλοποιήστε την παράσταση:

$$\int{\sqrt{1 - x^{2}} d x} = \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\sqrt{1 - x^{2}} d x} = \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sqrt{1 - x^{2}}\, dx = \left(\frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A