|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(\theta \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(\theta \right)} = \frac{\theta}{2}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{d\theta} \left(f{\left(g{\left(\theta \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{d\theta} \left(g{\left(\theta \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}$$Η παράγωγος της εφαπτομένης είναι $$$\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{\theta}{2}\right)} \right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{d\theta} \left(c f{\left(\theta \right)}\right) = c \frac{d}{d\theta} \left(f{\left(\theta \right)}\right)$$$ με $$$c = \frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(\theta \right)} = \theta$$$:
$$\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right)}{2}\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{d\theta} \left(\theta^{n}\right) = n \theta^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right) = 1$$$:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$Απλοποιήστε:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}{2} = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$Άρα, $$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$$A