|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ ως προς $$$x$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = a^{x} - 1$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ με $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(a^{x} - 1\right)}}}$$Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Εφαρμόστε τον κανόνα των εκθετών $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$ με $$$n = a$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $$$0$$$:
$$\frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(0\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$A