Παράγωγος της $$$\sqrt{1 - x}$$$

Η συνάρτηση $$$\sqrt{1 - x}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = 1 - x$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ με $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)$$

Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x\right)}}}$$

Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x}}$$

Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $$$0$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x\right)}{2 \sqrt{1 - x}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x\right)}{2 \sqrt{1 - x}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x}} = - \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{2 \sqrt{1 - x}}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x}\right) = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$$$.