|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\sin{\left(4 t \right)}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\sin{\left(4 t \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(t \right)} = 4 t$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)}$$Η παράγωγος του ημιτόνου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = \cos{\left({\color{red}\left(4 t\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ με $$$c = 4$$$ και $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$\cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)} = \cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$4 \cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = 4 \cos{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right) = 4 \cos{\left(4 t \right)}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(4 t \right)}\right) = 4 \cos{\left(4 t \right)}$$$A