|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\ln^{2}\left(u\right)$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{du} \left(\ln^{2}\left(u\right)\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\ln^{2}\left(u\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(u \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(v \right)} = v^{2}$$$ και $$$g{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{du} \left(f{\left(g{\left(u \right)} \right)}\right) = \frac{d}{dv} \left(f{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(g{\left(u \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln^{2}\left(u\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(v^{2}\right) \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dv} \left(v^{n}\right) = n v^{n - 1}$$$ με $$$n = 2$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(v^{2}\right)\right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = {\color{red}\left(2 v\right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$2 {\color{red}\left(v\right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = 2 {\color{red}\left(\ln\left(u\right)\right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$$2 \ln\left(u\right) {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} = 2 \ln\left(u\right) {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{du} \left(\ln^{2}\left(u\right)\right) = \frac{2 \ln\left(u\right)}{u}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{du} \left(\ln^{2}\left(u\right)\right) = \frac{2 \ln\left(u\right)}{u}$$$A