Παράγωγος της $$$\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)$$$

Η συνάρτηση $$$\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + 2$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)\right)}$$

Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)$$

Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)}{{\color{red}\left(\sqrt{x} + 2\right)}}$$

Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) + \frac{d}{dx} \left(2\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2}$$

Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $$$0$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x} + 2}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}}{\sqrt{x} + 2}$$

Απλοποιήστε:

$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 2\right)} = \frac{1}{2 \left(2 \sqrt{x} + x\right)}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)\right) = \frac{1}{2 \left(2 \sqrt{x} + x\right)}$$$.