|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(\sin{\left(x \right)}\right)}}$$Η παράγωγος του ημιτόνου είναι $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{{\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$Απλοποιήστε:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$A