|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)$$$ ως προς $$$x$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \frac{a^{2}}{x^{2}}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\right)}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)}{{\color{red}\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)}}$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = a^{2}$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$:
$$\frac{x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\right)}}{a^{2}} = \frac{x^{2} {\color{red}\left(a^{2} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)}}{a^{2}}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = -2$$$:
$$x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)} = x^{2} {\color{red}\left(- \frac{2}{x^{3}}\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\right) = - \frac{2}{x}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\right) = - \frac{2}{x}$$$A