|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$e^{x} + \sin{\left(y z \right)}$$$ ως προς $$$z$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)$$$.
Λύση
Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x}\right) + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)}$$Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $$$0$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x}\right)\right)} + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right) = {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)$$Η συνάρτηση $$$\sin{\left(y z \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(z \right)} = y z$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(y z\right)\right)}$$Η παράγωγος του ημιτόνου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right) = \cos{\left({\color{red}\left(y z\right)} \right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ με $$$c = y$$$ και $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$\cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(y z\right)\right)} = \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$y \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = y \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = y \cos{\left(y z \right)}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = y \cos{\left(y z \right)}$$$A