Παράγωγος της $$$e^{x} + \sin{\left(y z \right)}$$$ ως προς $$$y$$$

Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) + \frac{d}{dy} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)}$$

Η συνάρτηση $$$\sin{\left(y z \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ και $$$g{\left(y \right)} = y z$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(y z\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$

Η παράγωγος του ημιτόνου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$

Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:

$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = \cos{\left({\color{red}\left(y z\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$ με $$$c = z$$$ και $$$f{\left(y \right)} = y$$$:

$$\cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y z\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(z \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$

Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι $$$0$$$:

$$z \cos{\left(y z \right)} \frac{d}{dy} \left(y\right) + {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)\right)} = z \cos{\left(y z \right)} \frac{d}{dy} \left(y\right) + {\color{red}\left(0\right)}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:

$$z \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = z \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dy} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = z \cos{\left(y z \right)}$$$.